Os membros originais dos Aswad foram Brinsley Forde, George Oban, Angus Drummie Zeb Gaye e Donald Griffiths. Courtney Hemmings foi um colaborador frequente na década de 1970, chegando a juntar a maioria dos membros dos Aswad como banda de suporte do álbum ao vivo de Burning Spear gravado em 1977 no Rainbow Theatre em Londres. Outros participantes foram Vin Gordon, Bongo Levi e Karl Pitterson.
Tornaram-se uma das bandas de topo do reggae no Reino Unido com canções, típicas para a época, sobre a opressão da juventude negra, como Three Babylon e It's Not Our Wish e com a poderosa música instrumental de influência jazzistica, Warrior Charge.
Com o álbum New Chapter (1981), os Aswad obtiveram uma maior penetração de mercado. A musica Love Fire ganhou amplo reconhecimento quando foi utilizada como ritmo de base para a musica de Dennis Brown Promised Land.
Entre os muitos sucessos da banda Don't Turn Around, atingiu o Nº1 no Reino Unido em 1988. Esta faixa foi originalmente um lado B do single de Tina Turner Typical Male que posteriormente foi lançada pelos Ace of Base. No ano seguinte tiveram novos sucessos no Reino Unido com Give A Little Love e com uma versão reggae de Best of My Love, um original dos The Eagles.
Em 1989, contribuíram com o single Set Them Free para o álbum Greenpeace Rainbow Warriors, no mesmo ano realizaram, juntamente com Sir Cliff Richard a canção Share A Dream, gravado no ano anterior no Estádio de Wembley, como parte do evento (16 e 17 de Junho de 1989). O sucesso seguinte foi Shine, lançado em 1994. Outro grande sucesso foi um cover dos The Police, Invisible Sun, interpretada com Sting em 1998. Também tiveram a distinção de ter tocado com vários membros dos ex-Wailers.
Efectuaram imensas digressões, tocando em diversos locais tais como o Royal Albert Hall de Londres, Montego Bay's Reggae Sunsplash, e locais como a África Ocidental, Israel e Japão. O seu mais recente álbum foi lançado em 2009 com o nome City Lock. De onde foram retirados os singles What Is Love? e Do That Thing